Question

14．对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：

月份i	1	2	3	4	5	6
单价xi（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
销售量yi（件）	11	10	8	6	5	14

（Ⅰ）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（Ⅱ）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．参考数据：$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=392}$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=502.5$．

Answer 1

分析 （1）根据回归系数公式计算回归系数；
（2）利用回归方程计算x=8时的估计值，计算误差得出结论；
（3）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\overline{x}=\frac{1}{5}×（9+9.5+10+10.5+11）$=10，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}×（11+10+8+6+5）$=8，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{392-5×10×8}{502.5-5×1{0}^{2}}=-3.2$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-$$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=40．
∴y关于x的回归直线方程是$\stackrel{∧}{y}$=-3.2x+40．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=8时，$\stackrel{∧}{y}$=-3.2×8+40=14.4．
$\stackrel{∧}{y}$-y=14.4-14=0.4＜0.5．
∴可认为所得到的回归直线方程是理想的．
（Ⅲ）依题意得，利润L=（x-2.5）•（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100（2.5＜x＜12.5）．
当$x=-\frac{48}{2×（-3.2）}=7.5$时，L取得最大值．
即该产品的单价定为7.5元时，利润最大．

点评 本题考查了线性回归方程的解法，数值估计，二次函数的最值，属于中档题．