Question

3．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）根据回归系数公式计算回归系数；
（II）求出利润z的解析式，根据二次函数的性质而出最大值．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}=3$，$\overline{y}=5$，
$\sum_{i=1}^5{x_i}=15$，$\sum_{i=1}^5{y_i}=25$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=62.7$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
∴$\hat b=-1.23$，$\hat a=8.69$．
∴y关于x的线性回归方程为$\hat y=8.69-1.23x$．
（Ⅱ）z=x（8.69-1.23x）-2x=-1.23x²+6.69x．
所以x=2.72时，年利润z最大．

点评 本题考查了线性回归方程的求法，线性回归方程的应用，二次函数的最值，属于基础题．