Question

8．近年来世界各地地震频繁发生，给人民的生命和财产带来了重大损失，地震的阴云笼罩在人们心头，挥之不去，不少民众生活在地震恐慌之中．为了有效做好室外地震预防，某公司组织设计人员特别设计了一款帐篷，要求：帐篷下部的形状是高为1m的正四棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正四棱锥，且要使帐篷的体积最大．那么，这个帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离应设计为多少？

Answer 1

分析 设出顶点O到底面中心o₁的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．

解答 解：设帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为h（1＜h＜4），
则帐篷底面正方形的对角线长为a=2$\sqrt{3-（h-1）^{2}}$=2$\sqrt{8-{h}^{2}+2h}$．
∴底面正方形的面积S=$\frac{1}{2}{a}^{2}$=2（8-h²+2h）=-2h²+4h+16．
∴帐篷的体积V（h）=（-2h²+4h+16）（1+$\frac{1}{3}$（h-1））=-$\frac{2}{3}{h}^{3}$+8h+$\frac{32}{3}$．
求导得V′（h）=-2h²+8．
令V′（h）=0得h=2或h=-2（舍）．
当1＜h＜2时，V'（h）＞0，V（h）为增函数；
当2＜h＜4时，V'（h）＜0，V（h）为减函数．
所以当h=2时，V（h）最大．
答：当OO₁为2m时，帐篷的体积最大．

点评 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．