Question

16．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆x²+y²=b²相交所得弦的长度为1．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设$\overrightarrow{OP}$=（bx₁，ay₁），$\overrightarrow{OQ}$=（（bx₂，ay₂），O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论直线MN的斜率存在和不存在，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．

解答 解：（I）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
过椭圆的左焦点F（-c，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
由直线与圆x²+y²=b²相交所得弦的长度为1，
可得2$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{3+9}}）^{2}}$=2$\sqrt{{b}^{2}-\frac{{c}^{2}}{4}}$=1，
又a²-b²=c²，
解方程可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：（1）当MN的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
即有$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即有b²x₁x₂+a²y₁y₂=0，
即有x₁x₂+4y₁y₂=0，即x₁²-4y₁²=0，
又（x₁，y₁）在椭圆上，x₁²+4y₁²=4，
可得x₁²=2，|y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$|x₁|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=1；
（2）当MN的斜率存在，设MN的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=4k²-t²+1＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即有x₁x₂+4y₁y₂=0，
y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
（1+4k²）x₁x₂+4kt（x₁+x₂）+4t²=0，
代入整理，可得2t²=1+4k²，
即有|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{16{t}^{2}-16t}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{t}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
又O到直线的距离为d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{2}$|t|•$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{t}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$|t|•$\frac{4|t|}{2{t}^{2}}$=1．
故△MON的面积为定值1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．