Question

18．已知数列{a_n}的通项为a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+n2^n-1，则其前n项和S_n=$\frac{n}{n+1}$+（n-1）2ⁿ+1．

Answer 1

分析 构造数列b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，c_n=n2^n-1，从而分别求其前n项和，从而解得．

解答 解：令b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
令c_n=n2^n-1，
故T′_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+2•2+3•2²+…+n2^n-1，
2T′_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
两式相减可得，
T′_n=-1-2-2²-2³-…-2^n-1+n2ⁿ
=-$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$+n2ⁿ
=（n-1）2ⁿ+1；
故S_n=$\frac{n}{n+1}$+（n-1）2ⁿ+1．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$+（n-1）2ⁿ+1．

点评 本题考查了构造法的应用及裂项求和法与错位相减法的应用，属于中档题．