Question

17．如图，三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F．
（I）求证：AP⊥FB；
（Ⅱ）求多面体PFBCE的体积．

Answer 1

分析 （I）由PC⊥平面ABC得PC⊥BE，由BE⊥AC得BE⊥平面PAC，故BE⊥PA，又PA⊥EF，得出PA⊥平面BEF；
（II）求出四边形PCEF的面积和BE的长，代入棱锥的体积公式计算．

解答 证明：（I）∵PC⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴PC⊥BE，
∵E为AC中点，△ABC是正三角形，
∴AC⊥BE，又∵AC?平面PAC，PC?平面PAC，AC∩PC=C，
∴BE⊥平面PAC，∵PA?平面PAC，
∴BE⊥PA，又PA⊥EF，BE?平面BEF，EF?平面BEF，BE∩EF=E，
∴PA⊥平面BEF，∵BF?平面BEF，
∴PA⊥BF．
（II）PA=$\sqrt{P{C}^{2}+A{C}^{2}}=2\sqrt{2}$．BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{3}$．
∵△AEF∽△APC，∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△APC}}=（\frac{AE}{PA}）^{2}=\frac{1}{8}$．
∴S_{四边形PCEF}=$\frac{7}{8}{S}_{△PAC}$=$\frac{7}{4}$．
∴多面体PFBCE的体积V=$\frac{1}{3}•{S}_{四边形PCEF}•BE$=$\frac{1}{3}×\frac{7}{4}×\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．