Question

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点A₁，A₂，椭圆上不同于A₁，A₂的点P，A₁P，A₂P两直线的斜率之积为-$\frac{4}{9}$，△PA₁A₂面积最大值为6．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E的所有弦都不能被直线l：y=k（x-1）垂直平分，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），运用直线的斜率公式，以及椭圆的范围，求得三角形的最大面积，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设E的弦所在直线方程为y=-$\frac{x}{k}$+m，代入E的方程，得（4+$\frac{9}{{k}^{2}}$）x²-$\frac{18m}{k}$x+9m²-36=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），
椭圆的左右顶点A₁（-a，0），A₂（a，0），
由题意可得$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{4}{9}$，
整理可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{4{a}^{2}}{9}}$=1，
即有b²=$\frac{4}{9}$a²，
△PA₁A₂面积最大值为6，
即有面积为S=$\frac{1}{2}$•2a•|y_P|≤ab，
即S的最大值为ab=6，
解得a=3，b=2，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）设E的弦所在直线方程为y=-$\frac{x}{k}$+m，代入E的方程，得
（4+$\frac{9}{{k}^{2}}$）x²-$\frac{18m}{k}$x+9m²-36=0，
△=$\frac{324{m}^{2}}{{k}^{2}}$-4（4+$\frac{9}{{k}^{2}}$）（9m²-36）＞0，
可得m²＜4+$\frac{9}{{k}^{2}}$，①
设弦的两端为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{18km}{9+4{k}^{2}}$，
弦的中点：x=$\frac{9km}{9+4{k}^{2}}$，y=-$\frac{9m}{9+4{k}^{2}}$+m=$\frac{4m{k}^{2}}{9+4{k}^{2}}$，
这个中点不在直线y=k（x-1）上，
∴$\frac{4m{k}^{2}}{9+4{k}^{2}}$≠k（$\frac{9km}{9+4{k}^{2}}$-1），
即有m≠$\frac{9+4{k}^{2}}{5k}$，
m²≠$\frac{1}{25{k}^{2}}$（9+4k²）²，
由①可得，$\frac{（9+4{k}^{2}）^{2}}{25{k}^{2}}$≥4+$\frac{9}{{k}^{2}}$
解得k≥2或k≤-2．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．