Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+1\\;-1＜x≤0}\\{xsin\frac{1}{x}+a\\;0＜x＜1}\\{2x+b\\;1≤x＜2}\end{array}\right.$在点x=0，x=1处的极限是存在，求a，b？

Answer 1

分析 利用函数关系式求解$\underset{lim}{{x}^{-}→0}$（xsin$\frac{1}{x}+a$）=f（0）=2，$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$=0，得出a，再求解b即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+1\\;-1＜x≤0}\\{xsin\frac{1}{x}+a\\;0＜x＜1}\\{2x+b\\;1≤x＜2}\end{array}\right.$在点x=0，x=1处的极限是存在，
∴$\underset{lim}{{x}^{-}→0}$（xsin$\frac{1}{x}+a$）=f（0）=2，
∵$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$=0，
∴a=2，
∵f（1）=2+b，$\underset{lim}{{x}^{+}→1}$=sin1+2=f（1）=2+b，
∴b=sin1．

点评 本题简单的考察了极限的概念，运算，理解左极限，右极限的概念，属于容易题．