Question

9．已知函数y=f（x）的定义域是[0，$\frac{1}{4}$]，求下列函数的定义域
（1）f（sin²x）
（2）f（cos²x-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）的定义域是[0，$\frac{1}{4}$]，可得$0≤si{n}^{2}x≤\frac{1}{4}$，解得$-\frac{1}{2}≤sinx≤\frac{1}{2}$，即可得出．
（2）由函数y=f（x）的定义域是[0，$\frac{1}{4}$]，$0≤co{s}^{2}x-\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{4}$，化为$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|cosx|≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解出即可得出．

解答 解：（1）函数y=f（x）的定义域是[0，$\frac{1}{4}$]，∴$0≤si{n}^{2}x≤\frac{1}{4}$，解得$-\frac{1}{2}≤sinx≤\frac{1}{2}$，
∴$2kπ-\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$或$2kπ+\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z．
∴f（sin²x）的定义域为：{x|$2kπ-\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$或$2kπ+\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z}．
（2）∵函数y=f（x）的定义域是[0，$\frac{1}{4}$]，
∴$0≤co{s}^{2}x-\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{4}$，化为$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|cosx|≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$2kπ-\frac{π}{4}$≤x≤$2kπ-\frac{π}{6}$，或$2kπ+\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，或$2kπ+π+\frac{π}{6}$≤x≤$2kπ+π+\frac{π}{4}$，或$2kπ+2π-\frac{π}{4}$≤x≤$2kπ+2π-\frac{π}{6}$．k∈Z．
∴函数f（cos²x-$\frac{1}{2}$）的定义域为：[$2kπ-\frac{π}{4}$，$2kπ-\frac{π}{6}$]∪[$2kπ+\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]∪[$2kπ+π+\frac{π}{6}$，$2kπ+π+\frac{π}{4}$]∪
[$2kπ+2π-\frac{π}{4}$，$2kπ+2π-\frac{π}{6}$]．k∈Z．

点评 本题考查了函数的定义域的求法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．