Question

7．已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，点P是椭圆上任一点，F₁，F₂是椭圆的上下焦点，若△PF₁F₂的周长为$4+2\sqrt{2}$且其面积最大值为2；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点$A（0，\frac{1}{2}）$，求线段|PA|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由△PF₁F₂的周长为$4+2\sqrt{2}$且其面积最大值为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设P（2cosθ，$\sqrt{2}sinθ$），由点$A（0，\frac{1}{2}）$，利用两点间距离公式和三角函数性质能求出线段|PA|的最小值．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，点P是椭圆上任一点，F₁，F₂是椭圆的上下焦点，
△PF₁F₂的周长为$4+2\sqrt{2}$且其面积最大值为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=4+2\sqrt{2}}\\{\frac{1}{2}b•2c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）∵点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上任一点，∴P（2cosθ，$\sqrt{2}sinθ$），
∵点$A（0，\frac{1}{2}）$，∴|PA|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（\sqrt{2}sinθ-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}-2（sinθ+\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$，
∴|PA|_min=$\sqrt{\frac{9}{2}-2（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$．
此时P（0，$\sqrt{2}$），
∴线段|PA|的最小值为$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、两点间距离公式、椭圆参数方程的合理运用．