Question

7．在数列{a_n}中，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），n∈N₊．
（1）求a_n；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当n=1时，a₁=6，当n≥2时，作差求得na_n=n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）=3n（n+1），从而求a_n；
（2）化简b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，结合特征可知选择错位相减法求其前n项和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=1（1+1）（1+2）=6，
当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），
a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n（n-1）（n+1），
两式作差可得，
na_n=n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）=3n（n+1），
故a_n=3（n+1），
a₁=6也满足a_n=3（n+1），
综上所述，a_n=3（n+1）；
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=6•$\frac{1}{2}$+9•$\frac{1}{4}$+…+3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
2T_n=6+9•$\frac{1}{2}$+…+3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，②
②-①得，
T_n=6+3•$\frac{1}{2}$+…+3$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=6+3$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=6+3-3$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=6+3-3$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-3（n+1）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=9-3（n+3）$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想与错位相减法的应用，属于中档题．