Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上的动点P到其右焦点F的最大距离为3，若离心率$e=\frac{1}{2}$，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得a+c=3，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得a，c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：由题意可得P为椭圆长轴的左端点时，取得最大值3，
即为a+c=3，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．