Question

19．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的终边与圆O：x²+y²=1交于点M（x₁，y₁），点M沿圆O逆时针移动$\frac{π}{3}$个单位弧长后到达点N，设点N的坐标为（x₂，y₂），则x₁•x₂的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根据三角函数的定义求出函数x₁•x₂=cosαcos（α+$\frac{π}{3}$），再根据两角和与差的余弦公式，二倍角公式，化简，根据余弦函数的性质即可求出．

解答 解：由三角函数定义知，x₁=cosα，x₂=cos（α+$\frac{π}{3}$），
∴x₁•x₂=cosαcos（α+$\frac{π}{3}$）=cosα（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα），
=$\frac{1}{2}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα，
=$\frac{1}{4}$（cos2α+1）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α）+$\frac{1}{4}$，
=$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴-1≤cos（2α+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的定义，两角和与差的余弦公式，二倍角公式，余弦函数的性质，属于中档题．