Question

5．在平面上有A、B、C三点，满足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$的值为（　　）

• A． 4
• B． -4
• C． -$\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由余弦定理求出A，继而求出B，C，利用数量积公式化简所求即可．

解答 解：|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得BC²=AC²+AB²-2AB•AC•cosA，
∴3=1+1-2×1×1×cosA，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴A=120°，
∴B=C=30°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos150°+|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{CA}$|cos150°+|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos60°=1×$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+$\sqrt{3}$×1×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+1×1×$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了三角形三边对于向量的数量积计算；关键是熟练数量积公式；特别注意：向量的夹角与三角形内角的关系．