Question

13．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤1}\\{x+2y≥1}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，若D内存在一点P（x₀，y₀），使ax₀+y₀＜1，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，1）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由题意作平面区域，易知直线ax+y-1=0恒过点C（0，1），化简y=-ax+1，从而化为斜率问题解得．

解答 解：由题意作不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤1}\\{x+2y≥1}\end{array}\right.$表示平面区域如下，
D内存在一点P（x₀，y₀），使ax₀+y₀＜1，
易知直线ax₀+y₀-1=0恒过点C（0，1），
化简可得y₀=-ax₀+1，
结合图象$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=1}\end{array}\right.$可求得B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+2y=1}\end{array}\right.$可得A（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
故直线AC的斜率k=$\frac{1-\frac{1}{3}}{0-\frac{1}{3}}$=-2，
故-a＞-2，
故a＜2，
故选：A．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，注意原点与阴影一部分分别在直线两侧即可．