Question

11．已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x²+y²-2$\sqrt{2}$x=0的圆心重合，且椭圆过点（$\sqrt{2}$，1）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），先求出c=$\sqrt{2}$，由椭圆过点（$\sqrt{2}$，1），得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}=2{x}_{2}}\\{1-{y}_{1}=2（{y}_{2}-1）}\end{array}\right.$，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△AOB的面积．

解答 解：（1）∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x²+y²-2$\sqrt{2}$x=0的圆心重合，且椭圆过点（$\sqrt{2}$，1），
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），c为半焦距，c=$\sqrt{2}$，
∴a²-b²=2，①
由椭圆过点（$\sqrt{2}$，1），得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，②
由①②，得a²=4，b²=2，
∴所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}=2{x}_{2}}\\{1-{y}_{1}=2（{y}_{2}-1）}\end{array}\right.$，
设直线方程为y=kx+1，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得x=$\frac{-2k±\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，设${x}_{1}=\frac{-2k-\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{2}=\frac{-2k+\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，
则-$\frac{-2k-\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$=2•$\frac{-2k+\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$，解得${k}^{2}=\frac{1}{14}$，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|OP|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{8{k}^{2}+2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{126}}{8}$=$\frac{3\sqrt{14}}{8}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用．