Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），且3a₁，4a₂，a₃+13成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（2n+1）log₄a_2n，求数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），可得a₂=λ+2，a₃=λ²+4λ+4．又3a₁，4a₂，a₃+13成等差数列，可得2×4a₂=3a₁+a₃+13，代入解出λ，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=（2n+1）log₄a_2n=（2n-1）（2n+1），可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），
∴a₂=（λ+1）a₁+1=λ+2，a₃=（λ+1）（a₁+a₂）+1=（λ+1）（λ+3）+1=λ²+4λ+4．
又∵3a₁，4a₂，a₃+13成等差数列，
∴2×4a₂=3a₁+a₃+13，
∴8（λ+2）=3+λ²+4λ+4+13，化为λ²-4λ+4=0，解得λ=2．
∴a_n+1=3S_n+1，
当n≥2时，a_n=3S_n+1，∴a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n．
又$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{1}$=4．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为4，首项为1，
∴a_n=4^n-1．
（2）b_n=（2n+1）log₄a_2n=（2n+1）$lo{g}_{4}{4}^{2n-1}$=（2n-1）（2n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．