Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2（n∈{N^*}）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}，n为奇数\\ 4（\frac{1}{2}{）^{a_n}}，n为偶数\end{array}$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）由于数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2（n∈{N^*}）$，可得a₁+a₂=a₂+$\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{3}{2}×2$-2，解得a₁．当n≥2时，S_n-1=a_n-1+$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2，可得：a_n=a_n-a_n-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}$n-2-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2]，化简整理即可得出．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}，n为奇数\\ 4（\frac{1}{2}{）^{a_n}}，n为偶数\end{array}$，可得b_2n-1=$\frac{1}{（{a}_{2n-1}-1）（{a}_{2n-1}+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．b_2n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2（n∈{N^*}）$，∴a₁+a₂=a₂+$\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{3}{2}×2$-2，解得a₁=3．
当n≥2时，S_n-1=a_n-1+$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2，可得：a_n=a_n-a_n-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}$n-2-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2]，
解得a_n-1=n+1．
∴a_n=n+2，当n=1时也成立．
∴a_n=n+2．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}，n为奇数\\ 4（\frac{1}{2}{）^{a_n}}，n为偶数\end{array}$，∴b_2n-1=$\frac{1}{（{a}_{2n-1}-1）（{a}_{2n-1}+1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
b_2n=$4×（\frac{1}{2}）^{2n+2}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴数列{b_n}的前2n项和T_2n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n+6}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“裂项求和”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．