Question

2．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{7}{2}$，S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的n∈N^*，不等式$\frac{12k}{12+n-2{S}_{n}}$≥2n-3恒成立，则实数k的取值范围为$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{7}{2}$，变形为：a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{1}{2}$），a₁-$\frac{1}{2}$=3，利用等比数列的通项公式可得：a_n=3×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$，可得S_n．不等式$\frac{12k}{12+n-2{S}_{n}}$≥2n-3化为：k≥$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{7}{2}$，
∴a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{1}{2}$），a₁-$\frac{1}{2}$=3，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为3，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-$\frac{1}{2}$=3×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，即a_n=3×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$3×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n}{2}$=$6-\frac{6}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{2}$．
不等式$\frac{12k}{12+n-2{S}_{n}}$≥2n-3化为：k≥$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．
令f（n）=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，则f（n+1）-f（n）=$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{5-2n}{{2}^{n+1}}$．
则n≤2，a₁＜a₂＜a₃．
n≥3，a₃＞a₄＞a₅＞…．
∴f（3）最大为$\frac{3}{8}$．
对于任意的n∈N^*，不等式$\frac{12k}{12+n-2{S}_{n}}$≥2n-3恒成立，
∴k≥$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．