Question

13．定义区间[m，n]的长度为n-m（n＞m），已知函数f（x）=$\frac{（{a}^{2}-2a）x-2}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）存在区间[m，n]，当x∈[m，n]时，函数值域也为[m，n]，则当区间[m，n]的长度最大时，a的值为（　　）

• A． -3
• B． -2
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据分式函数的性质，判断函数为增函数，根据函数定义域与值域都是[m，n]，得到$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，转化为f（x）=x，有两个同号的相异实数根，利用一元二次方程根与系数之间的关系进行求解．

解答 解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数f（x）=$\frac{a-2}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}x}$在[m，n]上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{a-2}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}x}$=x的同号的相异实数根，
即a²x²-（a²-2a）x+2=0的同号的相异实数根
∵mn=$\frac{2}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{a-2}{a}$，
∴m，n同号，只需△=（a²-2a）²-8a²=a²•[（a-2）²-8]＞0，
即（a-2）²-8＞0
∴a＞2$\sqrt{2}$+2或a＜-2$\sqrt{2}$+2，
n-m=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{（\frac{a-2}{a}）^{2}-\frac{8}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{a}+1}$=$\sqrt{-4（\frac{1}{a}+\frac{1}{2}）^{2}}$$\sqrt{-4（\frac{1}{a}+\frac{1}{2}）^{2}+2}$，
∴当$\frac{1}{a}$=-$\frac{1}{2}$，即a=-2时，n-m取得最大值$\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本题考查了函数与方程的应用，根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，转化为一元二次方程是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．