Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C₁：x²+y²=4，C₂：（x+$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4，C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）有一公共点P（0，2）．
（Ⅰ）分别求C₁与C₂，C₁与C₃异于点P的公共点M、N的直角坐标；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆C₃的普通方程，解方程组得出交点坐标；
（2）求出过三点的圆的普通方程，转化为极坐标方程．

解答 解：（I）圆C₃的直角坐标方程为（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴M（-$\sqrt{3}$，-1），N（$\sqrt{3}$，-1）．
（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r，
则（r-1）²+$（\sqrt{3}）^{2}$=r²，解得r=2．∴圆心坐标为（0，-2）．
∴经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x²+（y+2）²=4．即x²+y²+4y=0．
∴经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为ρ²+4ρsinθ=0，即ρ=-4sinθ．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的空间想象和运算求解能力．