Question

8．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，右焦点为F（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，求点D的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），从而联立方程化简得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，从而结合韦达定理得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$；从而求得．

解答 解：（1）由题意知，
c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=$2\sqrt{2}$，b=2，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），k为斜率且k≠0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将其代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
由于F在椭圆内，当然对任意实数都有△＞0；
根据韦达定理得，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$；
y₁+y₂=k（x₁-2）+k（x₂-2）=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，
于是线段MN的中点为（$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{-2k}{2{k}^{2}+1}$），
则线段MN的垂直平分线方程为y-$\frac{-2k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）．
令y=0，得x=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{2{k}^{2}+1}$，
1+2k²∈（1，+∞），
所以点D横坐标的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及学生的化简运算能力的应用．