Question

13．在如图所示的几何体EFABC中，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF⊥平面ABC，D为BC的中点，DE∥AF且BC=AF=2DE=2．
（1）求证：AB∥平面EFC；
（2）若∠BAC=120°，求二面角B-EF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答 解：（1）延长FE，AD，相交于M，连接BM，CM，
∵BC=AF=2DE=2．
∴DE=1，
∵DE∥AF，AF=2DE，
∴D是AM的中点，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴四边形ABMC是菱形，
则AB∥CM，
∵AB?平面EFC，CM?平面EFC，
∴AB∥平面EFC；
（2）∵AF⊥平面ABC，DE∥AF，
∴DE⊥平面ABC，
建立以D为坐标原点，DB，DM，DE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
若∠BAC=120°，则△ABM为正三角形，
∵BC=AF=2DE=2，
∴BD=DC=1，DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则B（1，0，0），C（-1，0，0），M（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），E（0，0，1），
则$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{EM}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1），$\overrightarrow{CE}$=（1，0，1），
∴设面SBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=\frac{\sqrt{3}}{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，则z=1，x=1，即$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
设面EFC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=\frac{\sqrt{3}}{3}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=x+z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，则z=1，x=-1，即$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1+\sqrt{3}•\sqrt{3}+1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$，
即二面角B-EF-C的平面角的余弦值是$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及利用空间向量求平面间的夹角．解决问题的关键在于先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量．