Question

18．如图，多面体SABCD中面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=$\sqrt{3}$AD．
（I）求证：面SDB⊥面ABCD．
（Ⅱ）求面SBD与面SAB所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）直接根据条件得到SD⊥平面ABCD，然后根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（II）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答 解：（I）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AB∩AB=A，
∴SD⊥平面ABCD                         …（2分）
∵SD?面SDB，
∴面SDB⊥面ABCD                             …（5分）
（II）如图建立空间直角坐标系，
∵AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=$\sqrt{3}$AD，
∴S（$\sqrt{3}$a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），D（0，0，0）．
∴$\overrightarrow{DS}$=（$\sqrt{3}$a，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（0，a，2a）
设面SBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ax=0}\\{ay+2az=0}\end{array}\right.$⇒$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1）…（9分）
又∵$\overrightarrow{AB}$=（0，0，2a），$\overrightarrow{SA}$=（-$\sqrt{3}$a，a，0）
设面SAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SA}=0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{2az=0}\\{-\sqrt{3}ax+ay=0}\end{array}\right.$⇒$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0×1+（-2）×\sqrt{3}+1×0}{\sqrt{5}×\;2}$=$\frac{0×1+2×\sqrt{3}+（-1）×0}{\sqrt{5}×\;2}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴所以所求的二面角的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$…（14分）

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及利用空间向量求平面间的夹角．解决问题的关键在于先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量．