Question

8．已知点P是椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$上的点，F₁，F₂是它的两个焦点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，求出|PF₁|•|PF₂|，由此能求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵点P是椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$上的点，F₁，F₂是它的两个焦点，且∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=32，①
|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°=16，②
①-②，得3|PF₁|•|PF₂|=16，∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{16}{3}$，
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$•|PF₁|•|PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．