Question

17．若点M（0，3）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}$=1（a＞2）上任意一点P距离的最大值不超过2$\sqrt{7}$，则a的取值范围是（2，4]．

Answer 1

分析 设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}$=1（a＞2）上一点P的坐标为（acosα，2sinα），（0≤α＜2π），运用两点的距离公式，结合同角的平方关系和二次函数的最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，即可得到所求最大值．

解答 解：设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}$=1上一点P的坐标为
（acosα，2sinα），（0≤α＜2π），
即有|PM|=$\sqrt{（acosα）^{2}+（2sinα-3）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α-12sinα+9}$
=$\sqrt{-（{a}^{2}-4）si{n}^{2}α-12sinα+{a}^{2}+9}$
=$\sqrt{-（{a}^{2}-4）（sinα+\frac{6}{{a}^{2}-4}）^{2}+{a}^{2}+9+\frac{36}{{a}^{2}-4}}$，
由于sinα=t（-1≤t≤1），
当-$\frac{6}{{a}^{2}-4}$≤-1，即2＜a≤$\sqrt{10}$时，
sinα=-1时取得最大值，且为5＜2$\sqrt{7}$，成立；
当-1＜-$\frac{6}{{a}^{2}-4}$≤1，即a＞$\sqrt{10}$时，sinα=-$\frac{6}{{a}^{2}-4}$时，取得最大值，
即为$\sqrt{{a}^{2}+9+\frac{36}{{a}^{2}-4}}$≤2$\sqrt{7}$，
解得$\sqrt{7}$≤a≤4，即有$\sqrt{10}$＜a≤4．
综上可得，a的范围是（2，4]．
故答案为：（2，4]．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的恒等变换以及二次函数的最值的求法，属于中档题．