Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短轴长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直角的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率及短轴长列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其方程为y=x+m，与椭圆联立，得3x²+4mx+2m²-18=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直径性质，结合已知条件能求出符合题意的直线l存在，且方程为y=x+2$\sqrt{3}$或y=x-2$\sqrt{3}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短轴长为6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=6}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3\sqrt{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其方程为y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y，化简得3x²+4mx+2m²-18=0，
∵直线l与椭圆交于A、B两点，∴△=16m²-12（2m²-18）＞0，
化简，得m²＜27，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（{m}^{2}-9）}{3}$，
∵以线段AB为直径的圆恰到恰好经过原点，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=${x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{4（{m}^{2}-9）}{3}-\frac{4{m}^{2}}{3}+{m}^{2}=0$，
解得m²=12，满足m²＜27，
∴m=2$\sqrt{3}$或m=-2$\sqrt{3}$，
故符合题意的直线l存在，且方程为y=x+2$\sqrt{3}$或y=x-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆及圆的性质的合理运用．