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    19．已知函数f（x）=xn+f′（1）（n∈N），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则f（-1）=2．

    分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得n=3，即可得到所求值．

    解答 解：f（x）=xn+f′（1）的导数为f′（x）=nxn-1，
    即有f′（1）=n，
    可得f（x）=xn+n，
    f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为n，
    由切线与直线x+3y-2=0垂直，可得n=3，
    则f（-1）=（-1）3+3=2．
    故答案为：2．

    点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
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    9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短轴长为6．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直角的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    10．已知双曲线C与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有共同的渐近线，且C经过点$M（-3，2\sqrt{3}）$，则双曲线C的实轴长为3．

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    A．.3B．6C．9D．12

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    14．$\frac{2}{1+i}-\frac{1+i}{2}$=（　　）
    A．$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$B．$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$C．$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$D．$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

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    4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点为（$\sqrt{2}$，0）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；
    （3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．

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    11．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（　　）
    A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{3}{4}$D．$\frac{3}{5}$

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    8．若偶函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（-1），c=f（2${\;}^{\frac{3}{2}}$），则a，b，c满足（　　）
    A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a

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    9．设f（x）=$\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$，记[m]表示不超过实数m的最大整数，例如[1.2]=1，[-0.5]=-1，[2]=2，则函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（1-x）-\frac{1}{2}]$的值域为{-1，0}．

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