Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点为（$\sqrt{2}$，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；
（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；
（3）求出原点到直线AB的距离最大值即可．

解答 解：（1）∵c=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∵a²-b²=c²，∴b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直线斜率k存在，则设直线AB：y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（k x₁+m） （k x₂+m）=（1+k²） x₁x₂+k m（x₁+x₂）=0．
∴4 m²=3 k²+3
∴原点到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
若AB的斜率不存在时，|x₁|=|y₁|，可得|x₁|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以点O到直线AB的距离为定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$）²-4×$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$]
=$\frac{3（9{k}^{4}+10{k}^{2}+1）}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+6+\frac{1}{{k}^{2}}}$≤4．
当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立．∴|AB|≤2．
当斜率不存在时，经检验|AB|＜2．
所以S_△AOB≤$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
综上：△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．