Question

14．设互不相等的平面向量组$\overrightarrow{a_i}$（i=1，2，…，n）满足：
①|$\overrightarrow{a_i}$|=2；
②$\overrightarrow{a_i}•\overrightarrow{a_j}$=0（1≤i，j≤n）．
若$\overrightarrow{T_n}=\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_2}+…+{（-1）^{n-1}}\overrightarrow{a_n}$，记b_n=|$\overrightarrow{T_n}{|^2}$，
则数列{b_n}的前n项和S_n为S_n=2n²+2n（n=1，2）．

Answer 1

分析 根据向量两两垂直可知平面向量组只有两个向量，代入计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a_i}•\overrightarrow{a_j}$=0，∴$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}⊥\overrightarrow{{a}_{3}}$，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}≠\overrightarrow{{a}_{3}}$，∴$\overrightarrow{{a}_{3}}=-\overrightarrow{{a}_{1}}$．
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}$=-${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$，与$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}=0$矛盾．
∴n最大值为2．
∴$\overrightarrow{{T}_{1}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{T}_{2}}=\overrightarrow{{a}_{1}}-\overrightarrow{{a}_{2}}$．
∴b₁=${|\overrightarrow{{a}_{1}}|}^{2}=4$，b₂=|$\overrightarrow{{a}_{1}}-\overrightarrow{{a}_{2}}$|²=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{a}_{2}}}^{2}$=8．
∴S₁=4，S₂=12．
∴S_n=2n²+2n．
故答案为2n²+2n．

点评 本题考查了数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力．