Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，上顶点为B，若直线BA₁与圆M：（x+1）²+y²=$\frac{3}{7}$相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：x=2$\sqrt{2}$与x轴交于D，P是椭圆C上异于A₁、A₂的动点，直线A₁P、A₂P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可得到A₁（-2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA₁的方程，这样即可得出圆心（-1，0）到该直线的距离为$\frac{\frac{b}{2}}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{4}+1}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）可设P（x₁，y₁），从而有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，可写出直线A₁P的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，从而可以求出该直线和直线x=$2\sqrt{2}$的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得A₁（-2，0），B（0，b）；
∴直线BA₁的方程为$y=\frac{b}{2}（x+2）$；
∴圆心（-1，0）到直线BA₁的距离为$\frac{\frac{b}{2}}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{4}+1}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$；
解得b²=3；
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：设P（x₁，y₁），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，${k}_{{A}_{1}P}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$；
∴直线A₁P的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$；
∴$E（2\sqrt{2}，（2\sqrt{2}+2）\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$；
同理得，$F（2\sqrt{2}，（2\sqrt{2}-2）\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$；
∴$|DE|•|DF|=（2\sqrt{2}+2）•\frac{{|y}_{1}|}{{x}_{1}+2}•（2\sqrt{2}-2）$$•\frac{|{y}_{1}|}{2-{x}_{1}}=4•\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}=4•\frac{{{y}_{1}}^{2}}{\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{3}}=3$；
∴|DE|•|DF|为定值．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点坐标，以及圆的标准方程，直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，根据两点坐标求过这两点的直线的斜率的计算公式，直线的点斜式方程．