Question

7．设集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和称为X的“容量”，（规定空集容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，记S的奇子集个数为m，偶子集个数为n，则m，n之间的关系为（　　）

• A． m=n
• B． m＞n
• C． m＜n
• D． 无法确定

Answer 1

分析 集合S的子集可以分为两类：A含有1的子集，B中不含有1的子集，这两类子集各含有2²⁰¹⁵个，而且对于B类中的任意子集T，必在A类中存在唯一一个子集T∪{1}与之对应，且若T为奇子集，则T∪{1}是偶子集；若T为偶子集，则T∪{1}是奇子集即可得出．

解答 解：集合S的子集可以分为两类：A含有1的子集，B中不含有1的子集，这两类子集个含有2²⁰¹⁵个，而且对于B类中的任意子集T，必在A类中存在唯一一个子集T∪{1}与之对应，且若T为奇子集，则T∪{1}是偶子集；若T为偶子集，则T∪{1}是奇子集．∴B类中有x个奇子集，y个偶子集，则A类中必有x个偶子集，y个奇子集，∴S的奇子集与偶子集的个数相等．
故S的奇子集与偶子集个数相等，m=n．
故选：A．

点评 本题考查了新定义、集合之间的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．