Question

17．椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆面积为π，设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$可得：a，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．设△ABF₂的内切圆的半径为r，则πr²=π，解得r．利用${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}r$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）=$\frac{1}{2}|{y}_{2}-{y}_{1}|$•2c，解出即可得出．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$可得：a=6，b²=27，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
设△ABF₂的内切圆的半径为r，则πr²=π，解得r=1．
∴${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}r$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）=$\frac{1}{2}|{y}_{2}-{y}_{1}|$•2c，
∴4ar=2c|y₂-y₁|，
∴4×6×1=2×3|y₂-y₁|，
∴|y₂-y₁|=4，
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的面积计算公式、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．