Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点是（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），且椭圆经过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆方程，由题意可得a²-b²=3，再由椭圆的定义可得2a=4，解得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意．不妨设直线l的方程为x=ky+m，代入椭圆方程，消去x，运用韦达定理和由题意可得MA⊥MB，向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得m=$\frac{6}{5}$或m=2，即可得到定点．

解答 解：（1）椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由题意可得c=$\sqrt{3}$，
∴a²-b²=3，
由$2a=\sqrt{{{（\sqrt{2}+\sqrt{3}）}^2}+\frac{1}{2}}+\sqrt{{{（\sqrt{2}-\sqrt{3}）}^2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{11}{2}+2\sqrt{6}}+\sqrt{\frac{11}{2}-2\sqrt{6}}=4$，
可得a=2，b=1，
所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）证明：由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意．
不妨设直线l的方程为x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去x得（4+k²）y²+2kmy+m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有y₁+y₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+4}$…①，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$…②
因为以AB为直径的圆过点M，所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0．
由$\overrightarrow{MA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-2，y₂），得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得（k²+1）y₁y₂+k（m-2）（y₁+y₂）+（m-2）²=0…③
将①②代入③，得 $\frac{5{m}^{2}-16m+12}{{k}^{2}+4}$=0，解得m=$\frac{6}{5}$或m=2（舍）．
综上，直线l经过定点（$\frac{6}{5}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线恒过定点的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于中档题．