Question

13．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$+$\overrightarrow{{F_2}Q}$=0．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线I与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设Q（x₀，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=（c，-b），$\overrightarrow{AQ}$=（x₀，-b）．由于$\overrightarrow{A{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，解得x₀．利用2$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$+$\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，即可得出．
（2）由（1）可知：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得c=$\frac{1}{2}$a，可得F₂$（\frac{1}{2}a，0）$，Q$（-\frac{3}{2}a，0）$．可得△AQF₂的外接圆的圆心为$（-\frac{1}{2}a，0）$，半径r=$\frac{1}{2}$|F₂Q|=a．利用直线与圆相切的性质可得：$\frac{|-\frac{1}{2}a-0-3|}{2}$=a，解得即可得出．
（3）由（2）可知：F₂（1，0），设I：y=k（x-1），与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．根据菱形的对角线相互垂直的性质可得：$（\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}）$•$\overrightarrow{MN}$=0代入化简即可得出．

解答 解：（1）设Q（x₀，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=（c，-b），$\overrightarrow{AQ}$=（x₀，-b）．
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{AQ}$，∴$\overrightarrow{A{F}_{2}}$•$\overrightarrow{AQ}$=cx₀+b²=0，解得x₀=-$\frac{{b}^{2}}{c}$．
∵2$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$+$\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，∴2（2c，0）+$（-\frac{{b}^{2}}{c}-c，0）$=0，4c=$\frac{{b}^{2}}{c}$+c，化为4c²=a²，解得a=2c，∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可知：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得c=$\frac{1}{2}$a，∴F₂$（\frac{1}{2}a，0）$，Q$（-\frac{3}{2}a，0）$．∴△AQF₂的外接圆的圆心为$（-\frac{1}{2}a，0）$，∴半径r=$\frac{1}{2}$|F₂Q|=a．
∴$\frac{|-\frac{1}{2}a-0-3|}{2}$=a，解得：a=2，∴c=1，b²=3，∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（3）由（2）可知：F₂（1，0），设I：y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}$=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
根据菱形的对角线相互垂直的性质可得：$（\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}）$•$\overrightarrow{MN}$=0，
∴x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）=0．
∴k²（x₁+x₂-2）+（x₁+x₂-2m）=0，k²$（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-2）$+$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-2m$=0，k≠0，
化为m=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{3}{{k}^{2}}+4}$∈$（0，\frac{1}{4}）$．

点评 本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、菱形的对角线的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．