Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c-a）cosB=bcosA，且b=6．
（1）求角B的大小；
（2）设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理和基本不等式可得ac≤36，由重心的性质和不等式的性质可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中（2c-a）cosB=bcosA，
∴由正弦定理可得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），
∴2sinCcosB=sinC，约去sinC可得cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得36=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤36，当且仅当a=c=6时取等号，如图D为△ABC重心，
∴四边形BEDF面积S=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{12}$ac≤3$\sqrt{3}$，
∴四边形BEDF面积的最大值为3$\sqrt{3}$，

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角函数公式和三角形的面积公式以及重心的性质，属中档题．