Question

9．设f（x）=$\frac{4^x}{{2+{4^x}}}$，记[m]表示不超过实数m的最大整数，例如[1.2]=1，[-0.5]=-1，[2]=2，则函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（1-x）-\frac{1}{2}]$的值域为{-1，0}．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$，则g（1-x）=$\frac{1}{2}-\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}=-g（x）$，从而$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（1-x）-\frac{1}{2}]$=[g（x）]+[g（1-x）]=[g（x）]+[-g（x）]，令y=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$，则-$\frac{1}{2}＜g（x）＜\frac{1}{2}$，由此能示出函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（1-x）-\frac{1}{2}]$的值域．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$，则g（1-x）=$\frac{{4}^{1-x}}{2+{4}^{1-x}}-\frac{1}{2}$=$\frac{4}{2•{4}^{x}+4}-\frac{1}{2}$=$\frac{2+{4}^{x}-{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$-$\frac{1}{2}$
=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$=$\frac{1}{2}-\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}=-g（x）$，
∴$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（1-x）-\frac{1}{2}]$=[g（x）]+[g（1-x）]=[g（x）]+[-g（x）]，
令y=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$，则${4}^{x}=\frac{2y}{1-y}＞0$，∴0＜y＜1，∴0＜f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$＜1，∴-$\frac{1}{2}＜g（x）＜\frac{1}{2}$，
当-$\frac{1}{2}＜g（x）＜0$时，0＜-g（x）＜$\frac{1}{2}$，[g（x）]+[-g（x）]=-1+0=-1，
当g（x）=0时，[g（x）]+[-g（x）]=0+0=0，
当0＜g（x）＜$\frac{1}{2}$时，-$\frac{1}{2}＜-g（x）＜0$，
[g（x）]+[-g（x）]=0+（-1）=-1，
∴函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（1-x）-\frac{1}{2}]$的值域为{-1，0}．
故答案为：{-1，0}．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．