Question

1．已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x₀，y₀），且y₀＜x₀+2，则$\frac{y_0}{x_0}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{3}$，0）
• B． （-$\frac{1}{3}$，0）
• C． （-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得，线段PQ的中点为M（x₀，y₀）到两直线的距离相等，利用$\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}-2|}{\sqrt{10}}=\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}+6|}{\sqrt{10}}$，可得x₀+3y₀+2=0．
又y₀＜x₀+2，设$\frac{y_0}{x_0}$=k_OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．

解答 解：∵点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x₀，y₀），
∴$\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}-2|}{\sqrt{10}}=\frac{|{x}_{0}+3{y}_{0}+6|}{\sqrt{10}}$，化为x₀+3y₀+2=0．
又y₀＜x₀+2，
设$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=k_OM，
当点位于线段AB（不包括端点）时，则k_OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k_OM＜-$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（0，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．