Question

13．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果对角线AC₁与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ=2．

Answer 1

分析 由已知得cosα=$\frac{A{B}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosβ=$\frac{A{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosγ=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$，由此能求出cos²α+cos²β+cos²γ的值．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C₁⊥面AB₁，
∴AC₁与面AB₁所成的角为∠C₁AB₁=α，
同理AC₁与面AD₁所成的角为∠C₁AD₁=β，
AC₁与面AC所成的角为∠C₁AC=γ，
∵cosα=$\frac{A{B}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosβ=$\frac{A{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosγ=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$，
∴cos²α+cos²β+cos²γ
=$\frac{A{{B}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{{D}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{C}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{D}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=$\frac{2（A{B}^{2}+A{D}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}）}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=$\frac{2A{{C}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=2．
故答案为：2．

点评 本题考查线面角的余弦值的平方和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的性质的合理运用．