Question

3．在椭圆E：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点B₁（0，1）作直线交椭圆E于A₁，B₁，交曲线C于A₂，B₂，当|A₁B₁|最大时，求|A₂B₂|．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），求得向量DM，DP的坐标，由向量共线的坐标表示，结合P在椭圆上，代入化简即可得到所求曲线的方程；
（2）讨论当直线的斜率不存在时，可得|A₁B₁|=2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kx=0，（k≠0），求得点A₁，B₁，运用两点的距离公式和基本不等式求得最大值，再由圆内的垂径定理，化简整理即可得到所求值．

解答 解：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），
则D（x₀，0），$\overrightarrow{DM}$=（x-x₀，y），$\overrightarrow{DP}$=（0，y₀），
由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，可得x-x₀=0，且y=2y₀，
即为x₀=x，y₀=$\frac{1}{2}$y，
由P在椭圆上，可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+（$\frac{y}{2}$）²=1，
即有曲线C的方程为x²+y²=4；
（2）当直线的斜率不存在时，可得|A₁B₁|=2；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kx=0，（k≠0），
解得x₁=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，x₂=0，即有B₁（0，1），A₁（-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
|A1B1|=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{64{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$•$\frac{\sqrt{3{k}^{2}（1+{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$
≤$\frac{8}{\sqrt{3}}$•$\frac{\frac{1+4{k}^{2}}{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当3k²=1+k²，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|A₁B₁|取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
由$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＞2，可得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线A₂B₂的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1，即$\sqrt{2}$x-2y+2=0，
圆心O到直线A₂B₂的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{6}}$，
由垂径定理可得，（$\frac{|{A}_{2}{B}_{2}|}{2}$）²=r²-d²=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
即|A₂B₂|=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，注意运用代入法，向量共线的坐标表示，考查弦长的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，求交点，考查基本不等式的运用：求最值，同时考查运算能力，属于中档题．