Question

15．如图，已知在四陵锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，AP=BP，∠APB=90°，PC=2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）求二面角B-PC一D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定证明定AB⊥面ABC即可；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是边长为2的菱形，AP=BP，
∴取AB的中点O，
则PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩OC=0，
∴AB⊥面ABC，
∵PC?面ABC，
∴AB⊥PC；
（2）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，∠APB=90°，PC=2，
∴OA=OB=1，OC=$\sqrt{3}$，OP=OA=1，
则OP²+OC²=1+3=4=PC²，
即△POC为直角三角形，
则PO⊥OC，则PC⊥面ABC，
建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（1，0，0），B（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0）.$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{BP}$=（1，0，1）
$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面BPC的法向量，
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=0，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=0得，$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则z=$\sqrt{3}$，x=0，
则$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BP}$=0，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}$=0得，$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，则z=3，x=-3，
则$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，3），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{1+3}•\sqrt{9+9+3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2×\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
∵二面角B-PC一D的为钝二面角，
∴对应的余弦值为-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本小题主要考查直线垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．