Question

5．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．
（I）求证：DE²=AE•BE；
（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE²=AE•BE．
（Ⅱ）由切割线定理得EF²=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，
∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，
∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，∴DE²=AE•BE．
解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，
∴EF²=EA•EB，
∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB-EA=6，
由（Ⅰ）知DE²=AE•BE，∴DE=4，
∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，
∴$\frac{BA}{BE}=\frac{AC}{ED}$，
∴AC=$\frac{BA•ED}{BE}$=$\frac{6×4}{8}=3$．

点评 本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．