Question

20．设F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为E的上顶点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2，则a=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由已知得P（0，b），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-1，-b），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1，-b），从而$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=b²-1=2，由此利用椭圆性质能求出a．

解答 解：∵F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为E的上顶点，
∴P（0，b），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-1，-b），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1，-b），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=b²-1=2，
解得b²=3，∴a²=3+1=4，
解得a=2．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．