Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x-y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x²+y²=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀）．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，代入圆的方程，解方程可得m，进而判断不存在．

解答 解：（1）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=2b，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1
故椭圆的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
线段AB的中点为M（x₀，y₀）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x²+2mx+m²-2=0，
△=（2m）²-4×3×（m²-2）＞0，即m²＜3，
x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，
所以x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{2m}{3}$，
即M（-$\frac{m}{3}$，$\frac{2m}{3}$）．又因为M点在圆x²+y²=5上，
可得（-$\frac{m}{3}$^）2+（$\frac{2m}{3}$）²=5，
解得m=±3与m²＜3矛盾．
故实数m不存在．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．