Question

15．已知f（x）=|x-1|+|2x+3|．
（1）若f（x）≥m对一切x∈R都成立，求实数m的取值范围；
（2）解不等式f（x）≤4．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（2）求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|2x+3|，
x≥1时，f（x）=x-1+2x+3=3x+2，f（x）≥5，
-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，f（x）=-x+1+2x+3=x+4，$\frac{5}{2}$＜f（x）＜5，
x≤-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-x+1-2x-3=-3x-2≥$\frac{5}{2}$，
若f（x）≥m对一切x∈R都成立，
只需m≤$\frac{5}{2}$即可；
（2）x≥1时，f（x）=x-1+2x+3=3x+2≤4，解得：x≤$\frac{2}{3}$，无解，
-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，f（x）=-x+1+2x+3=x+4≤4，解得：x≤0，
x≤-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-x+1-2x-3=-3x-2≤4，解得：x≥-2，
故不等式的解集是：[-2，0]．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．