Question

17．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 证明：（1）∵A₁O⊥面ABCD，且BD，AC?面ABCD，
∴A₁O⊥BD，
又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵A₁O∩AC=O，
∴BD⊥面A₁AC，
∵BD?平面BB₁D₁D，
∴平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D
（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=AA₁=2，∠BAD=60°，
∴OB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∵AA₁=2，
∴A₁O=1．
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），A₁（0，0，1），C（-$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（-$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，0，1），
则$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
设平面BOB₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=-\sqrt{3}x+y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，则y=0，z=3，即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，3），
设平面OB₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=-\sqrt{3}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=-\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则z=-1，x=0，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{2}•\sqrt{3+9}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵二面角B-OB₁-C是钝二面角，
∴二面角B-OB₁-C的余弦值是-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．