Question

7．已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R）的一条对称轴是x=-$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，f（$β+\frac{3π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，求sin（α+β）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得a的值，从而求得函数的增区间．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，求得结果．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+acosx=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+θ），其中，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$，sinθ=$\frac{a}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$，
它的图象的一条对称轴是x=-$\frac{π}{4}$，
∴θ-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 θ=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，∴θ=-$\frac{π}{4}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∴a=-1，f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，
可得函数f（x）的增区间为[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
且f（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，f（$β+\frac{3π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sqrt{2}$sinα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且 $\sqrt{2}$sin（β+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosβ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即 sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性以及图象的对称性，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．