Question

2．已知函数f（x）=x²+ax+1，
（Ⅰ）设g（x）=（2x-3）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；
（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为$\frac{3}{2}$，
即a²-4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为$\frac{3}{2}$，
代入得$\frac{9}{4}+\frac{3}{2}a+1=0$，
故$a=-\frac{13}{6}$；
综上所述，a的取值集合为$\{-\frac{13}{6}，-2，2\}$．
（Ⅱ）（1）若$-\frac{a}{2}≤0$，即a≥0时，
函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，
故y_max=f（1）=2+a；
（2）若$0＜-\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜0时，
此时△=a²-4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；
故${y_{max}}=max\{f（0），f（1）\}=max\{1，a+2\}=\left\{{\begin{array}{l}{a+2}&{a≥-1}\\ 1&{a＜-1}\end{array}}\right.$，
（3）若$-\frac{a}{2}≥1$，即a≤-2时，
此时f（1）=2+a≤0，
${y_{max}}=max\{f（0），-f（1）\}=max\{1，-a-2\}=\left\{{\begin{array}{l}1&{a≥-3}\\{-a-2}&{a＜-3}\end{array}}\right.$，
综上所述，${y_{max}}=\left\{{\begin{array}{l}{a+2}&{a≥-1}\\ 1&{-3≤a＜-1}\\{-a-2}&{a＜-3}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了二次函数的性质应用．