Question

11．如图所示，折线B₀A₁B₂A₂B₃A₃…中线段分别平行于x轴或y轴，A₁，A₂，…，A_n…这些点在函数y=$\frac{2}{x-1}$（x＞1）图象上，B₁，B₂…B_n…这些点在直线y=x上，设点A_n的纵坐标为y_n．
（1）用y_n表示y_n+1（n∈N^*）；
（2）若B₀（$\frac{11}{5}$，0），请写出数列{y_n}的所有项；
（3）设B₀（x₀，0），当x₀为何值时，数列{y_n}是一个无穷的常数列．

Answer 1

分析 （1）设B₀（x₀，0），由题意可得B₁（x₀，x₀），B₂（$\frac{2}{{x}_{0}-1}$，$\frac{2}{{x}_{0}-1}$），B₃（$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$，$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$），即可得到所求关系式；
（2）由（1），运用列举法，即可得到所求数列中的所有项；
（3）由（1）可得，令y_n+1=y_n=t，（t＞1），解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）设B₀（x₀，0），由题意可得B₁（x₀，x₀），
A₁（x₀，$\frac{2}{{x}_{0}-1}$），B₂（$\frac{2}{{x}_{0}-1}$，$\frac{2}{{x}_{0}-1}$），
A₂（$\frac{2}{{x}_{0}-1}$，$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$），
B₃（$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$，$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$），
…
即有y_n+1=f（y_n）=$\frac{2}{{y}_{n}-1}$（y_n＞1）；
（2）由B₀（$\frac{11}{5}$，0），
可得数列{y_n}的所有项为：$\frac{11}{5}$，$\frac{5}{3}$，3，1；
（3）设B₀（x₀，0），由（1）可得，
令y_n+1=y_n=t，（t＞1），
即有t=$\frac{2}{t-1}$，即为t²-t-2=0，
解得t=2（-1舍去）．
则x₀为2时，数列{y_n}是一个无穷的常数列．

点评 本题数列的递推式的求法，注意运用分析法，考查数列的项的求法，注意运用列举法，同时考查常数列的求法，注意运用方程的思想，考查运算能力，属于中档题．