Question

20．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，其离心率为$\frac{1}{2}$，点P是椭圆C上一点，若△PF₁F₂的面积为1且其内切圆的半径为$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点Q为椭圆C上异于长轴端点A₁，A₂的动点，定直线y=4与直线QA₁、QA₂分别相交于M、N两点，已知点G（0，7），试判断y轴上是否存在不同于点G的定点H，使得M，N，G，H四点共圆？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积求法，结合内切圆的半径和椭圆的定义，解方程可得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设Q（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{3}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，A₁（0，-2），A₂（0，2），求得QA₁，QA₂的方程，代入y=4，可得M，N的坐标，求得圆心的横坐标，再由GM的中垂线经过圆心，可得圆心的纵坐标为定值4，即可得到H（0，1）．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r（PF₁+PF₂+F₁F₂）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（2a+2c）=1，
即为a+c=3，
解得c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设Q（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{3}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
A₁（0，-2），A₂（0，2），
直线QA₁：y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
直线QA₂：y=$\frac{n-2}{m}$x+2，
令y=4，可得x_M=$\frac{6m}{n+2}$；
x_N=$\frac{2m}{n-2}$．
即有M（$\frac{6m}{n+2}$，4），N（$\frac{2m}{n-2}$，4），
由圆心在线段的垂直平分线上，可得
圆心的横坐标为$\frac{1}{2}$（$\frac{6m}{n+2}$+$\frac{2m}{n-2}$）=$\frac{4m（n-1）}{{n}^{2}-4}$，
再由直线GM的斜率为$\frac{4-7}{\frac{6m}{n+2}}$=-$\frac{n+2}{2m}$，
可得线段GM的中垂线的斜率为$\frac{2m}{n+2}$，
GM的中点为（$\frac{3m}{n+2}$，$\frac{11}{2}$），
可得GM的垂直平分线方程为y-$\frac{11}{2}$=$\frac{2m}{n+2}$（x-$\frac{3m}{n+2}$），
令x=$\frac{4m（n-1）}{{n}^{2}-4}$，可得y=$\frac{11}{2}$+$\frac{2m}{n+2}$•$\frac{mn+2m}{{n}^{2}-4}$
=$\frac{11}{2}$+$\frac{2{m}^{2}}{{n}^{2}-4}$=$\frac{11}{2}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{4-{n}^{2}}{{n}^{2}-4}$=$\frac{11}{2}$-$\frac{3}{2}$=4．
即有圆心的纵坐标为定值4，
可得y轴上存在不同于点G的定点H（0，1），
使得M，N，G，H四点共圆．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和三角形的内切圆的半径的求法，考查圆的方程的求法和运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．